تشریح روش های دینامیکی ضمنی implicit و صریح explicite در آباکوس

به درخواست دوستان به تشریح روش های دینامیکی ضمنی implicit و صریح explicite می پردازیم…

ابتدا

مقدمه کلی：

در این مبحث با جزئیات بیشتر به مقایسه دو روش معمول و متداول در حل مسائل دینامیک به روش اجزای محدود می پردازیم. در حل مسائل دینامیکی دو روش در نرم افزارها مورد استفاده قرار می گیرد: روش صریح یا Explicit و روش ضمنی یا Implicit.

قبل از پرداختن به مسائل دینامیک بهتر است تا اشاره مختصری جهت یادآوری به کلیت روش اجزای محدود داشته باشیم. هدف از این اشاره پرداختن به جزئیات و روشهای ریاضی حل معادلات نیست و لذا کاملاً به صورت پارامتری و شماتیک به آن می پردازیم.

یکی از ساده ترین اجزای سازه های مکانیک مدل فنر است. همانطور که می دانیم معادله نیروی استاتیکی یک فنر ساده به صورت F=k*x بیان می شود که در آن F نیروی خارجی وارده بر انتهای فنر، k ضریب سختی فنر است که خود تابعی از قطر و طول و جنس و تعداد حلقه های فنر می باشد و x میزان جابجایی فنر نسبت به وضعیت آزاد اولیه فنر است.

ترکیب چند فنر به صورت موازی و یا سری با یکدیگر تشکیل فنر معادل دیگری با ضریب سختی دیگری را می دهد که به طور مثال ترکیب دو فنر به ضریب سختی های k1 و k2 به شکل موازی تشکیل فنر جدیدی با ضریب سختی k3=k1+k2 می دهد و …

در نرم افزار Abaqus از روشی موسوم به روش اجزای محدود که در منابع و متون مختلف از آن با نامهایی مثل روش المان محدود، FEM، FEA، Finite Element Method و یا Finite Element Analysis یاد می شود جهت محاسبات بهره می برد. در این روش ابتدا مدل به قسمت های کوچکی به نام المان تقسیم می شود و سپس به شیوه ای مشابه معادله فنر، برای محاسبه میزان تغییر شکل و جابجایی مجموعه این المانها از رابطه ای ماتریسی استفاده می شود:

[F]=[k].[x]

که در آن [F]، ماتریس نیرو، با توجه به بارگذاریها و شرایط مرزی محاسبه می شود و معلوم است. [k]، ماتریس سختی، با توجه به هندسه سازه، ضخامت ورقها و جنس (Material) محاسبه می شود و معلوم است و [x]، ماتریس جابجایی، مجهول است و باید محاسبه گردد. جهت فهم بیشتر مطالب قبلی در اینجا متذکر می شوم که به این مرحله از کار اصطلاحاً پیش پردازش یا Pre-Processing گفته می شود.

شیوه محاسبه و حل این معادله به طور کاملاً خلاصه اینگونه است:

[F]=[k].[x] → [k-1].[F]=[k-1].[k].[x] → [k-1][F]=[x]

ماتریس جابجایی، [x]، محاسبه می شود. به این مرحله از کار که ما بسیار ساده و خلاصه مطرح کردیم پردازش یا Processing گفته می شود و قلب یک نرم افزار و نقطه قوت و تمایز میان نرم افزارهاست.

با بدست آمدن ماتریس جابجایی [x]، در واقع مقدار جابجایی (Displacement) تمامی گره ها بدست آمده است. از روی میزان جابجایی ها و با جایگذاری در رابطه ε=(L-L0)/L0 کرنش هر المان محاسبه شده و با جایگذاری در رابطه بنیادی σ=E.ε تنش ها محاسبه می گردد و سایر نتایج نیز با استفاده از روابط مکانیکی محاسبه می گردد. به این مجموعه عملیات اصطلاحاً پس پردازش یا Post-Processing اطلاق می شود.

در این پست به موارد کاربرد هر کدام از این روشها و مزایا و معایب هر کدام نسبت به دیگری خواهیم پرداخت.

بر اساس اینکه از کدامین روش برای شبیه سازی می توان استفاده کرد، می توان مسائل را به ۳ دسته تقسیم نمود.

دسته اول مسائلی که صرفاً به روش Implicit قابل حل است.

دسته دوم مسائلی که صرفاً به روش Explicit قابل حل است.

و دسته سوم مسائلی که از هر دو روش قابل حل است.

با توجه به مطالب فوق دسته های اول و دوم مشخص هستند؛ اما تقریباً تمامی مسائل از هر دو شیوه قابل تحلیل هستند البته به لحاظ تئوری. در عمل در مسائل زیر استفاده از روش Explicit عملاً تنها انتخاب است و روش Implicit همگرا نخواهد شد:

پدیده های دینامیکی سرعت بالا: در پدیده های فیزیکی با سرعت بسیار زیاد همانند نیروهای انفجاری و یا نیروهای ضربه ای که در یک بازه زمانی بسیار کوچک بار زیادی به سازه وارد می شود، همگرا کردن حل درشیوه Implicit عملاً غیرممکن است. علاوه بر آنکه مشاهده عکس العمل سازه در بازه های زمانی کوچک مدنظر است.مسائل با برخورهای پیچیده: در پدیده هایی که قطعات مختلفی با هم برخورد می کنند از هر ۲ شیوه می توان جهت شبیه سازی برخورد استفاده کرد. اما هنگامی که تعداد و شدت برخوردها در مدل زیاد می شود، عملاً روش Implicit همگرا نخواهد شد.Postbuckling: مسائلی که تغییر شکلهای سازه منجر به تغییر استحکام بسیار زیاد قطعه می شود همانند قطعاتی که دچار کمانش می شوند.برخی مسائل شبه استاتیکی Quasi-Static که در آنها تغییر شکلها بسیار زیاد است. درخصوص مسائل شبه استاتیکی در پستهای آینده مفصلتر بحث خواهیم کرد.شکست و خرابی در مواد: در مواردی که ماده سازه دچار شکست، ترک و خرابی می شود، استفاده از روش Explicit مناسبتر است.

علی رغم مزایایی که برای روش Explicit گفته شد، محدودیتهایی نیز در این روش وجود دارد که بعضاً به آنها اشاره شد:

جوابهایی که از طریق این روش محاسبه می شوند در مقیاسهای کوچک به طور ذاتی دارای مقداری noise هستند که البته با اضافه کردن مقدار کمی damping در روند حل به مقدار زیادی می توان این اختلال را برطرف کرد.همانطور که در توضیح ماهیت این شیوه گفته شد، در این روش روند حرکت موج در داخل سازه دنبال می شود. لذا اگر سرعت حرکت موج در سازه که همان سرعت صوت است از سرعت حل نرم افزار بیشتر شود، جوابها ناپایدار و ناصحیح خواهد بود. به عبارت بهتر بازه های زمانی حل باید به قدری کوچک باشد که بتواند روند حرکت موج را کاملاً دنبال کند.

این مشکل بیشتر در المانهای کوچک نمایان می شود. در این المانها موج تنش به سرعت از المان عبور می کند و لذا باید Δt حل را بر اساس سایز کوچکترین المانها تنظیم کرد. در روش Implicit چنین محدودیتی اساساً وجود ندارد و جواب کاملاً مستقل از Δt است. به عنوان نتیجه می توان اظهار کرد که کیفیت مش بندی در روش Explicit بسیار با اهمیت و تاثیرگذار بر آنالیز است.

منبع： گروه ژئوکنیک و طراحی در تلگرام https://telegram.me/joinchat/05db38750151468cc21da8a77136dc84